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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Calcule, si es posible, los límites cuando $x\rightarrow+\infty$ y cuando $x\rightarrow-\infty$ de las siguientes funciones:
f) $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+3}-x$
f) $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x+3}-x$
Respuesta
Límite en $-\infty$
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x $Reemplazá despacito $-\infty$ en la expresión, mucho cuidado con los signos. La raíz se está yendo a $+\infty$ y después te queda $-(-\infty) = +\infty$. Entonces acá no hay ninguna indeterminación, este límite da
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x = +\infty$
Límite en $+\infty$
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}-x $
Bueno ahora sí, este es un límite como los del item anterior. Tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito", con esa raíz cuadrada, esto tiene pinta de salvarse multiplicando y dividiendo por el conjugado, hacemos eso:
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x\right) \cdot \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)}{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x)(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x^2 - 2x + 3) - x^2}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x}$
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} + x} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{{|x|}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2x + 3}{{x}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + x} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x(-2 + \frac{3}{x})}{x(\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1)} $
Cancelamos las \( x \). Nos queda:
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1} $
Listooo, tomamos límite, fijate que hay varios términos que se están yendo a cero. El numerador tiende a \( -2 \), el denominador tiende a \( 2 \), por lo tanto, el resultado del límite esss...
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x\right) = -1 $
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